перейти на список разделов


ВВЕДЕНИЕ

Обозначение производной. Если y=f(x), то производная по переменной x обозначается так:

Производные функций вычисляются с применением следующих теорем:

 

ТЕОРЕМА 1. Производная от константы равна нулю.

ТЕОРЕМА 2. Константу можно вынести за знак производной, то есть

ТЕОРЕМА 3. Производная суммы любого числа функций равна сумме производных этих функций. Для трех функций, например, имеем:

ТЕОРЕМА 4. Производная произведения двух функций равна

ТЕОРЕМА 5. Производная частного двух функций равна

ТЕОРЕМА 6. Пусть y=F(u), где u=j(x), тогда

Комментарий. Эта теорема о производной сложной функции.

Ниже приводится таблица производных элементарных функций:

 

перейти на начало


ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ПРОСТЫХ ФУНКЦИЙ

Пример 1.

Комментарий. После применения теоремы о производной суммы (Теорема 3) образовалось три производных. Первая производная табличная, вторая сводится к табличной после вынесения константы за знак производной (ТЕОРЕМА 2), третья производная равна нулю, так как дифференцируется константа.

Пример 2.

Комментарий. После применения теорема о производной произведения (ТЕОРЕМА 4) возникло две производных. Первая производная сводится к табличным производным в результате применения теоремы о производной суммы (ТЕОРЕМА 3). Вторая производная является табличной.

Пример 3.

 

Комментарий. После применения теоремы о производной частного (ТЕОРЕМА 5) образовалось две производных. Вторая производная табличная, а первая в результате использования теоремы о производной суммы (ТЕОРЕМА 3) сводится к табличным производным.

перейти на начало


ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ

Пример 1. Вычислить производную от функции

Данную функцию можно представить как функцию от функции следующим образом:

Согласно теореме о сложной функции (Теорема 6) имеем

Заметим, что все производные, возникшие после взятия производной от сложной функции, являются табличными. Подставляя далее вместо функции u её выражение, окончательно получим:

Обычно все сказанное записывают в следующей укороченной форме:

 

перейти на начало